quarta-feira, 7 de outubro de 2009

Desenhos criados pelos alunos







Formas de triângulo em nosso cotidiano











Definições de triângulo

Há três espécies básicas de triângulos: eqüilátero, escaleno e isósceles. No conhecido Dicionário Aurélio, encontramo-las averbadas como segue:
• “Triângulo eqüilátero. Geom. O que tem os três ângulos iguais.”
• “Triângulo escaleno. Geom. O que tem todos os ângulos e lados desiguais.”
• “Triângulo isóscele. Geom. O que tem dois lados e, portanto, dois ângulos iguais.”
(Tanto quanto sabemos, o uso do trema em “eqüilátero” não é facultativo; e os termos “isóscele” e “isósceles” são sinônimos.)

Examinar criticamente essa classificação constitui um bom exercício de Lógica elementar. Por exemplo, se estivermos interessados meramente em classificar triângulos, trataremos essas espécies como três classes mutuamente exclusivas. Mas se dermos atenção à arrumação dedutiva dos fatos, teremos que nos contentar com uma divisão mais grosseira, após uma análise mais cuidadosa das próprias definições. É o que veremos

Apesar de o Aurélio mencionar lados e ângulos, historicamente (desde os tempos de Euclides) essa classificação tem sido usada com referência a lados. Assim, partiremos das seguintes definições:
(1) Triângulo eqüilátero: O que tem os três lados iguais.
(2) Triângulo escaleno: O que tem todos os lados desiguais.
(3) Triângulo isósceles: O que tem dois lados iguais.

Indicaremos os lados de um triângulo genérico por (a ,b e c). Por “lado” entenderemos a medida da figura correspondente.) Por ordem de dificuldade (que, aqui, coincide com a ordem alfabética), traduziremos cada definição numa fórmula lógica na qual compareçam (nomes para) os lados, conectivos proposicionais e as relações = (igualdade) e (desigualdade.)

Triângulo equilatero

Este é o caso mais fácil. O primeiro impulso é dizer que um triângulo de lados é eqüilátero se, e somente se,

a=b=c.

De acordo com uma convenção geral para relações binárias, essa igualdade dupla é o mesmo que a conjunção

a=b e b=c

Não menos natural seria definir “eqüilátero” fazendo a conjunção de = aplicada a todas as combinações dos lados a, b e c tomados 2 a 2:

a=b a=c b=c

Contudo isso acrescenta informação redundante: com relação = é transitividade, a primeira conjunção já acarreta a igualdade

a=c.

Triângulo escaleno

Como exprimiremos a condição “todos os lados são desiguais”? Desta vez, a conjunção mais curta

a diferente de b , b diferente de c.


é insuficiente para dar conta de “todos os lados”. Isso porque a relação (diferente) não é transitiva (embora seja simétrica). Conforme notamos no artigo sobre conseqüência lógica (nesta Seção), de “a diferente de b ” e “b diferente de c” não é válido concluir “a diferente de c ”. Logo, temos que aplicar a relação às três combinações binárias dos lados. A tradução correta é a seguinte, que incorporamos no predicado Escaleno:
Triângulo escaleno :

Escaleno ( a,b,c)=a diferente de b , a diferente de c ,e b diferente de c.

Triângulo isósceles :o dilema

Segundo muitos autores modernos, um triângulo é isósceles quando tem dois lados iguais. O problema com essa formulação é a ambigüidade potencial da expressão “dois lados”, que pode significar:

• exatamente dois lados; ou• pelo menos dois lados.

A primeira interpretação é mais forte do que a segunda: se exatamente dois lados são iguais, então pelos menos dois lados são iguais — mas a recíproca é falsa. São duas interpretações logicamente distintas, embora não exclusivas. Qual delas devemos aceitar como definição de “isósceles”?

Para facilitar a discussão, vamos dar nomes a essas condições chamando-as de Isósceles1 e Isósceles2. Com isso, temos mais dois predicados ternários, assim definidos:

Isósceles 1(a,b e c)= (a=b a=c e b=c) (a=b b=c)

Isósceles 2(a,b e c )= (a=b a=c b=c)

Assim, o triângulo de lados a, b e c , satisfaz isósceles 1 (a,b e c)se, e somente se, possui exatamente dois lados iguais; se no mínimo dois lados forem iguais, então Isósceles 2(a,b e c) , e reciprocamente.

Triângulos isósceles: a melhor definição.

Uma definição é, inter alia, uma sentença verdadeira por convenção. Assim, desde que sejamos consistentes, podemos definir “isósceles” como Isósceles1 ou Isósceles2. Contudo, um critério comum para se preferir uma definição a outra é o da simplicidade. Em geral, deve-se optar por definições que simplifiquem os enunciados dos teoremas que as mencionem. Sobre o conceito de “simplicidade”, veja outro artigo desta seção.)
A generalidade é uma maneira de se conseguir simplicidade lógica. Sabemos que um modo de fortalecer um teorema consiste em enfraquecer sua hipótese. Assim, teoremas sobre triângulos isósceles serão mais gerais se tivermos uma definição mais geral de “isósceles” na hipótese. (Teoremas mais gerais têm mais força, são mais úteis, mas são mais difíceis de provar.)
Como exemplo, tomemos esses dois fatos inesquecíveis da Geometria:
Teorema do Triângulo Isósceles. “Em todo triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados iguais são iguais.”
Teorema do Triângulo Eqüilátero. “Todo triângulo eqüilátero é eqüiângulo.”
Um roteiro muito comum para apresentar esses teoremas é o seguinte:
• adota-se a
definição ambígua de “isósceles”; • enuncia-se o Teorema do Triângulo Isósceles (talvez seguido de sua demonstração); • enuncia-se o Teorema do Triangulo Eqüilátero como um corolário (por duas aplicações do anterior).
Está claro que esse plano só funciona se “eqüilátero” for aceito como um caso particular de “isósceles”. Isso equivale a definir “isósceles” pela condição mais geral
Isósceles2.
Podemos eliminar o termo “isósceles” do Teorema do Triângulo Isósceles e enunciá-lo assim:
Teorema do Triângulo Isósceles. “Se dois lados de um triângulo são iguais, então os ângulos opostos [a esses lados] são iguais”.
É interessante notar que, nessa forma, a mencionada
ambigüidade parece inexistir, além de ressaltar que a conclusão não requer a igualdade de exatamente dois lados.
Em suma, do ponto de vista dedutivo, resulta mais simples definir “triângulo isósceles” como um triângulo com pelo menos dois lados iguais. Com essa definição , todo triângulo eqüilátero é isósceles; e um triângulo será escaleno se, e somente se, não for isósceles. Conforme ilustramos abaixo, essa definição acarreta uma divisão menos fina dos triângulos, pois ficamos com apenas duas — e não três — espécies exaustivas e mutuamente exclusivas.

A importancia

Isosceles

Scaleno

Equilatero






O triângulo é uma das formas geométicas mais importantes tanto que este pode ser usado na triangulação para medição de distâncias, mas esta pode ser melhor mensurada com uso de aparelhos GPS. Pode ser usado , mas com o advento dos filmes pôrnos qualquer nerd tem acesso a isto e, matambém na construção de monumentos, por exemplo, com a utilização de quatro triângulos pode-se ter uma pirâmide, mas é inútil construir uma pirâmide, desta forma, no século XXI uma vez que elas podem ser compradas no Egito de maneira pré-fabricada. Outra importante aplicação do triângulo é ser um meio de nerds falarem sobre algo que eles raramente verão, o órgão sexual femininois uma vez o triângulo ficou obsoleto.























Triângulos e a sua classificação


Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que possui o menor número de lados. Talvez seja o polígono mais importante que existe. Todo triângulo possui alguns elementos e os principais são: vértices, lados, ângulos, alturas, medianas e bissetrizes.


Apresentaremos agora alguns objetos com detalhes sobre os mesmos.

  1. Vértices: A,B,C.

  2. Lados: AB,BC e AC.

  3. Ângulos internos: a, b e c.

Altura: É um segmento de reta traçado a partir de um vértice de forma a encontrar o lado oposto ao vértice formando um ângulo reto. BH é uma altura do triângulo.

Mediana: É o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. BM é uma mediana.

Bissetriz: É a semi-reta que divide um ângulo em duas partes iguais. O ângulo B está dividido ao meio e neste caso Ê = Ô.

Ângulo Interno: É formado por dois lados do triângulo. Todo triângulo possui três ângulos internos.

Ângulo Externo: É formado por um dos lados do triângulo e pelo prolongamento do lado adjacente(ao lado).


Classificação dos triângulos quanto ao número de lados
Triângulo EquiláteroOs três lados têm medidas iguais.
m(AB)=m(BC)=m(CA)
Triângulo IsóscelesDois lados têm a mesma medida.
m(AB)=m(AC)
Triângulo EscalenoTodos os três lados
têm medidas diferentes.

Classificação dos triângulos quanto às medidas dos ângulos
Triângulo
Acutângulo
Todos os ângulos internos são agudos, isto é, as medidas dos ângulos são menores do que 90º.
Triângulo
Obtusângulo
Um ângulo interno é obtuso, isto é, possui um ângulo com medida maior do que 90º.
Triângulo
Retângulo
Possui um ângulo interno reto (90 graus).

Classificação dos Quadriláteros

Paralelogramo: É o quadrilátero que tem lados opostos paralelos. Num paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes. Os paralelogramos mais importantes recebem nomes especiais:

  1. Losango: 4 lados congruentes

  2. Retângulo: 4 ângulos retos (90 graus)

  3. Quadrado: 4 lados congruentes e 4 ângulos retos.


Trapézio: É o quadrilátero que tem apenas dois lados opostos paralelos. Alguns elementos gráficos de um trapézio (parecido com aquele de um circo).

  1. AB é paralelo a CD

  2. BC é não é paralelo a AD

  3. AB é a base maior

  4. DC é a base menor

Os trapézios recebem nomes de acordo com os triângulos que têm características semelhantes. Um trapézio pode ser:

  1. Retângulo: dois ângulos retos

  2. Isósceles: lados não paralelos congruentes

  3. Escaleno: lados não paralelos diferentes

segunda-feira, 5 de outubro de 2009

Triângulos presentes em nosso cotidiano

*~Triângulos~*

Triângulo é a figura geométrica que ocupa o espaço interno limitado por três linhas retas que concorrem, duas a duas, em três pontos diferentes formando três lados e três ângulos internos que somam 180°. Também se pode definir um triângulo em superfícies gerais. Nesse casos, são chamados de triângulos geodésicos e têm propriedades diferentes. Também podemos dizer que o triângulo é a união de três pontos não-colineares (pertencente a um plano, em decorrência da definição dos mesmos), por três segmentos de reta.

O triângulo é o único polígono que não possui diagonais e cada um de seus ângulos externos é suplementar do ângulo interno adjacente. O perímetro de um triângulo é a soma das medidas dos seus lados. Denomina-se a região interna de um triângulo de região convexa (curvado na face externa) e a região externa de região côncava (curvado na face interna).


tipos de triângulos

Sem falar dos triângulos esféricos, os triângulos mais simples são classificados de acordo com os limites das proporções relativas de seus lados:

  • Um triângulo equilátero possui todos os lados congruentes ou seja iguais. Um triângulo equilátero é também equiângulo: todos os seus ângulos internos são congruentes (medem 60°), sendo, portanto, classificado como um polígono regular.
  • Um triângulo isósceles possui pelo menos dois lados de mesma medida e dois ângulos congruentes. O triângulo equilátero é, conseqüentemente, um caso especial de um triângulo isósceles, que apresenta não somente dois, mas todos os três lados iguais, assim como os ângulos, que medem todos 60º. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e são congruentes.
  • Em um triângulo escaleno, as medidas dos três lados são diferentes. Os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes.

Denomina-se base o lado sobre qual se apóia o triângulo. No triângulo isósceles, considera-se base o lado de medida diferente.

Todos esses triângulos são os mesmos encontrados num plano de duas dimensões, porem em grandes extensões, como na superfície do planeta por exemplo, os ângulos para continuarem os mesmos é necessário que o comprimento dos lados sejam deformados ou seja ampliados em igual proporção ao perímetro da esfera.

quinta-feira, 20 de agosto de 2009

Paralelismo entre retas


Ângulos suplementares:

São dois ângulos cuja soma vale 180º.

Na figura acima, sobre a mesma reta, temos um ângulo azul e um ângulo vermelho, cuja soma vale 180º, pois formam um ângulo raso.

Lembrados esses conceitos, vamos estudar as relações entre ângulos determinados por uma transversal em retas paralelas.

Observe a figura abaixo.

As retas r e s são paralelas "cortadas" pela transversal t.

Os ângulos 1, 2, 3 e 4 são os ângulos determinados pela transversal t em r - e os ângulos 5, 6, 7 e 8 são determinados por t em s.

Se "recortássemos" a figura conforme o pontilhado, poderíamos tranquilamente encaixar o pedaço recortado sobre a parte de baixo da figura, ou seja, os ângulos 1, 2, 3 e 4 "encaixariam" perfeitamente sobre os ângulos 5, 6, 7 e 8, nessa ordem:

Assim, dizemos que esses ângulos são correspondentes e, como podemos perceber, ângulos correspondentes têm a mesma medida.

Como os pares 1 - 4 e 5 - 8 são opostos pelo vértice e 1 - 5 e 4 - 8 são correspondentes, todos eles têm a mesma medida.

Pelo mesmo motivo, 2, 3, 6 e 7 também têm a mesma medida.

Formando ângulo raso, temos 1 - 2, 3 - 4, 5 - 6, 7 - 8. Cada um desses pares forma um ângulo raso. Sabendo que 2, 3, 6 e 7 têm a mesma medida (ângulos obtusos) e que 1, 4, 5 e 8 têm a mesma medida (ângulos agudos), podemos observar na figura um ângulo agudo qualquer e um obtuso qualquer sendo sempre suplementares.
Nomeando as propriedades
Agora vamos nomear essas propriedades observadas. Para isso, é preciso entender um pouco a nomenclatura utilizada em geometria.

Dadas duas retas paralelas e uma transversal, os ângulos determinados pela transversal na região entre as paralelas são chamados de internos. Logo, os que não estão entre as paralelas são chamados de externos.


Já os ângulos que estão do mesmo lado em relação à transversal, ou seja, do lado direito ou do lado esquerdo, são chamados colaterais. Os que estão em lados opostos são chamados alternos. < td>


Alternos Internos: 3 e 6, 4 e 5 São congruentes
(mesma medida).
Externos: 1 e 8, 2 e 7
Colaterais Internos: 3 e 5, 4 e 6 Formam ângulo raso
(medem juntos 180º).
Externos: 1 e 7, 2 e 8
Correspondentes 1 e 5, 2 e 6, 3 e 7, 4 e 8 São congruentes.
Opostos pelo vértice 1 e 4, 5 e 8, 2 e 3, 6 e 7 São congruentes

terça-feira, 18 de agosto de 2009

ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE (O.P.V)

Ângulos Opostos Pelo Vértice (O.P.V)



O é o vértice dos
ângulos m, n, r e d

Analisando a figura notamos que, m e n são ângulos opostos pelo vértice, o mesmo acontece com os ângulos r e d.
Os ângulos opostos pelo vértice são ângulos congruentes (iguais).

Logo:
m = n e r = d

Observamos também que:
m + r = 180º, m + d = 180º, n + r = 180º, n + d = 180º
Exercícios resolvidos:
1. Vamos determinar os valores de a nas figuras seguintes:



Ângulos


ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
Observe os ângulos AÔB e CÔD na figura abaixo:



Verifique que:

Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e CÔD são opostos pelo vértice (o.p.v). Assim:
Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semi-retas opostas aos lados do outro.

Na figura abaixo, vamos indicar:



Sabemos que:
X + Y = 180º ( ângulos adjacentes suplementares)
X + K = 180º ( ângulos adjacentes suplementares)
Então:

Logo: y = k
Assim:
m (AÔB) = m (CÔD) AÔB CÔD
m (AÔD) = m (CÔB) AÔD CÔB
Daí a propriedade:
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

Observe uma aplicação dessa propriedade na resolução de um problema:
• Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas, em graus, expressas por x + 60º e 3x - 40º. Qual é o valor de x?
Solução:
x + 60º = 3x - 40º ângulos o.p.v
x - 3x = - 40º - 60º
-2x = - 100º
x = 50º
Logo, o valor de x é 50º.

Fonte: Mundovestibular.com.br